Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Als φ = $\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}$ dan is φ⁵ − 5φ gelijk aan	A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
E. 8

Deze (13^de)vraag werd gesteld op 14 jan 2009 tijdens de eerste ronde van de 24^ste Vlaamse Wiskunde Olympiade (5^de en 6^de jaars)
26% gaf een correct antwoord, 32% een fout en 42% gaf geen antwoord.

IN CONSTRUCTION	A.
B.
C.
D.
E.

1^ste manier :
We berekenen eerst φ² :
$\phi^2=\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right)^2=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\frac{3+\sqrt5}{2}$
$\inline\\\phi^5-5\phi=\phi\left(\phi^4-5\right)-5=\phi.\left(\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^2-5\right)=\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right).\left(\frac{9+6\sqrt5+5}{4}-5\right)\\=\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right).\left(\frac{6\sqrt5-6}{4}\right)=6.\frac{\sqrt5+1}{2}.\frac{\sqrt5-1}{2}=6.\frac{5-1}{8}=3$ 2^de manier :
φ is het gulden getal (getal van de gulden snede) en is dus oplossing van de vierkantsvergelijking x² − x − 1 = 0 !
Zodoende is x² = x + 1 en dus ook φ² = φ + 1 ! !
φ⁵ − 5φ = φ((φ²)² − 5) = φ((φ+1)² − 5) = φ(φ² + 2φ − 4) = φ(3φ − 3) = 3φ(φ − 1) = 3(φ² − φ = 3(φ + 1 − φ) = 3