Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking (cos x − sin x)² + cos⁴ x − sin⁴ x = sin 4x in het interval [ 0 , 2[ ?	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 8

How many solutions does the equation (cos x − sin x)² + cos⁴ x − sin⁴ x = sin 4x have in the interval [ 0 , 2[ ?	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 8

1^ste manier :
$\inline(\cos x-\sin x)^2+\cos^4 x-\sin^4 x=\frac12=\sin 4x\\\cos^2 x-2\sin x.\cos x+\sin^2 x+(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2+\sin^2 x)=\frac12.2.\sin\;2x\cos 2x\\1-\sin 2x+\cos^2 x-\sin^2 x=\sin 2x.\cos 2x\\1-\sin 2x+\cos\:2x-\sin\:2x.\cos\:2x=0\\1-\sin 2x+\cos\:2x(1-\sin 2 x)=0\\(1-\sin 2x)(1+\cos 2x)=0\\a)\;\sin 2x=1\;\Leftrightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k.2\pi\;\Leftrightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+k.\pi\\b)\;\cos 2x=-1\;\Leftrightarrow\;2x=\pi+k.2\pi\;\Leftrightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+k.\pi\\Opl=\{x=\frac{\pi}{4}+k.\pi,\;x=\frac{\pi}{2}+k.\pi\}$
Vier oplossingen in het interval [ 0, 2π [
(tevens 4 punten op de goniometrische cirkel)
2^de manier :
$\inline(\cos x-\sin x)^2+\cos^4 x-\sin^4 x=\frac12.\sin 4x\\\cos^2 x-2\sin x.\cos x+\sin^2 x+(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2+\sin^2 x)=\frac12.2.\sin 2x.\cos 2x\\1-\sin 2 x+\cos^2 x-\sin^2x=\sin 2x.\cos 2x\\-\sin 2 x+2\cos^2 x-\sin 2 x\cos 2 x=0\\-\sin 2 x(1+\cos 2 x)+2\cos^2 x=0\\-\sin 2 x.2\cos^2 x+2\cos^2 x=0\\2\cos^2 x.(1-\sin 2x)=0\\a)\;\cos x=0\;\Leftrightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+k.\pi\\b)\;\sin 2x=1\;\Leftrightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k.2\pi\;\;x=\frac{\pi}{4}+k.\pi$
met dezelfde oplossingenverzameling.